[BOJ 4948] - 베르트랑 공준 (에라토스테네스의체 알고리즘)

문제

베르트랑 공준은 임의의 자연수 n에 대하여, n보다 크고, 2n보다 작거나 같은 소수는 적어도 하나 존재한다는 내용을 담고 있다.

이 명제는 조제프 베르트랑이 1845년에 추측했고, 파프누티 체비쇼프가 1850년에 증명했다.

예를 들어, 10보다 크고, 20보다 작거나 같은 소수는 4개가 있다. (11, 13, 17, 19) 또, 14보다 크고, 28보다 작거나 같은 소수는 3개가 있다. (17,19, 23)

자연수 n이 주어졌을 때, n보다 크고, 2n보다 작거나 같은 소수의 개수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

입력은 여러 개의 테스트 케이스로 이루어져 있다. 각 케이스는 n을 포함하는 한 줄로 이루어져 있다.

입력의 마지막에는 0이 주어진다.

출력

각 테스트 케이스에 대해서, n보다 크고, 2n보다 작거나 같은 소수의 개수를 출력한다.

제한

• 1 ≤ n ≤ 123,456

예제 입력 1  1 10 13 100 1000 10000 100000 0

예제 출력 1  1 4 3 21 135 1033 83 92

 

 

 

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[접근]

1. 소수판별 알고리즘으로 함수를 만든다

2. 입력값이 바뀔 때마다 해당 함수에 m,2m을 매개변수로 하여 값을 출력한다

 

위의 방법으로 답을 찾을 수는 있었으나 시간초과 판정을 받게 되었다.

입력값이 6자리 숫자이고 2*입력값까지 확인해야하기 때문에

에라토스테네스의 체로 입력 최댓값(123456)까지의 소수를 판별하여 이를 활용하는 것이 효율적이다

 

*수정된 접근

 1. 입력받을 수 있는 MAX 값 * 2 만큼, 모든값이 [True]인 배열을 만든다.

 2.  0~MAX 까지의 인덱스에 에라토스테네스의 체 알고리즘을 이용하여 소수의 배수인 경우 False로 변경

 3. 입력받은 값에 따라 배열을 슬라이싱하여 True 갯수 추출

 

[코드]

import math
from collections import Counter

MAX = 123456*2+1 					#입력최댓값 상수
prime =[True]*MAX
prime[1]=False

for i in range(2, int(math.sqrt(MAX)) + 1):		#에라토스테네스의 체 알고리즘
    if prime[i] == True:
        for j in range(i + i, MAX, i):
            prime[j] = False

while True:
    m = int(input())
    if m==0:
        break
    c = Counter(prime[m+1:2*m+1])			# 배열 m ~ 2m로 슬라이싱하여 True,False 갯수세기
    print(c[True])

 

에라토스테네스의 체를 사용하면 메모리는 많이차지하지만

시간복잡도는 O(N·logN)으로 거의 선형에 가깝다

시간복잡도와 공간복잡도를 잘 고려해서 짜보는 습관을 길러야겠다